Traçats bàsics de la secció aùria.

Què és la "secció aùria" d'un segment?  :   

Es tracta de dividir un segment en dues parts desiguals,  però de manera molt precisa i seguint un traçat geomètric definit expressament per a això.  Com a resultat s'obté una dividisió proporcional del segment en dues fraccions que compleixen una condició molt curiosa:

Si es divideix la llargària de la porció més gran del segment fragmentat (C-B) entre la llargària de la porció més petita (A-C),  el resultat que obtenim és el mateix que si dividim la llargària total del segment   (A-B)  entre la llargària del fragment més gran  (C-B).   Aquest resultat donarà sempre el mateix nombre irracional que anomenem  Fi  i que simbolitzem amb la lletra grega    Φ.  És el també anomenat "nombre d'or"=  1,61803...  

(Vegeu també  l'entrada "El nombre d'or"  de 26/ 01/ 2015 en aquest mateix blog).  

Nature by Numbers - Cristobal Vila from Natalia Godoy on Vimeo.

 Com trobem aquest punt de divisió àuria?:

1-  Es divideix el segment inicial per la meitat.



2-  Prenem aquesta mesura  (1/2 segment AB) i la traslladem a un dels seus extrems,  en posició vertical,  perpendicular al segment inicial.







3-  El punt (1/2 AB) que hem situat en posició vertical serà ara el centre d'una circumferència de radi igual a aquesta línia dibuixada  (1/2 AB  -  A),  i un cop traçada serà,  per tant, tangent al segment inicial,  per aquest extrem.








4-  A continuació,  s'uneix mitjançant una recta el centre d'aquesta circumferència amb l'extrem oposat del segment inicial  (Unim el centre de la circumferència amb el punt B).
Sobre la circumferència ens apareix un punt d'intersecció entre la circumferència i la línia traçada.  Aquest punt és determinant (l'anomenarem, per exemple: C).

5- Amb el compàs i fent centre a B baixem el punt C a sobre del segment inicial:   Aquest punt C divideix ara el segment inicial en secció àuria.









6-  Si ara volem crear un rectangle auri partint d'aquest mateix segment,  només hem de dibuixar en vertical els costats del rectangle, fent que la seva amb alçada sigui igual a la mida C-B.








7-  S'obté el rectangle auri ABCD





Però també podríem haver obtingut aquest rectangle fent el següent traçat:

Rectangle auri a partir del quadrat:

1-  Un cop tenim el segment AB dividit en secció àuria,  tracem el quadrat de costats cB, BC, etc.
2-  Dividim verticalment el quadrat en dues meitats iguals.
3-  Tracem la "semidiagonal" del quadrat (La recta que uneix el punt mig del costat cB  amb un vertex oposat).
4- Amb el compàs, prenent aquesta semidiagonal com a radi,  tracem l'arc que baixa fins el punt A.
Des d'aquí acabem de dibuixar el rectangle auri.


                                     (Aquesta operació es pot fer sempre, partint de qualsevol quadrat)


Aplicació d'aquests traçats en la composició i en l'anàlisi formal de les obres d'art:

Una de les aplicaciones més interessants d'aquests traçats geomètrics es produeix quan s'utilitza la secció àuria per a dissenyar de manera equilibrada i harmònica una imatge o una composició d'elements.  
També,  quan analitzem formalment una obra pictòrica o escultòrica,  podem intentar descubrir si l'autor ha utilitzat la secció àuria com a base de la seva estructura.

                                          Georges de la Tour. El trampós de l'as de diamants

Podem começar per traçar els eixos derivats de dividir segons la secció àuria els costats del quadre.  Si comencem per trobar dos eixos,  un pel costat llarg i l'altre pel costat curt,  podrem traçar després els altres dos eixos simètrics amb tota facilitat.

Més enllà d'aquesta senzilla operació, i amb una mica més d'experiència,  l'anàlisi formal que explora totes les relacions àurees del quadre pot endinsar-se en molta més profunditat.

Anàlisi proposat per Bernard Rancillac al llibre Ver y Comprender LA PINTURA,
  ediciones del Prado, 1992. 

D'aquesta manera podem estudiar l'estructura de qualsevol mena d'obra,  no tan sols figurativa,  sinó també abstracte, informal, i tant bidimensionals com tridimensionals.

Anàlisi d'una obra abstracta de E. Warner,  1978.

La figura poligonal del PENTÀGON REGULAR conté una sèrie de relacions entre segments que coincideixen amb la proporció àuria.  

El jardí de les delícies

El pintor anomenat El Bosch   -Hieronymus Bosch (1450-1516)-  crea l'obra coneguda com El jardí de les delícies   en algun moment indeterminat,  entre els anys 1480 i 1505.   La peça és un tríptic de fusta, que es pot obrir i tancar,  i que mesura més de dos metres d'alçada i quasi quatre metres de llarg.  Va estar pintat a l'oli,  una tècnica força nova en l'època en què El Bosch la va emprar.  Avui,  aquest quadre excepcional es troba al Museo del Prado, a Madrid. 
Sobre el tema i el significat d'aquesta obra s'han escrit innombrables estudis i articles,  la majoria dels quals coincideixen en acceptar que la representació mostraria escenes inaugurals de la creació del món i dels primers esdeveniments que protagonitza l'home sobre la Terra:  la llegendària estada d'Adam i Eva a l'Edèn,  els actes dels primers homes al món i la visió terrorífica de l'infern.

Sovint es considera que la composició d'aquesta imatge és força caòtica.  Malgrat això,  i mirant-ho des d'un punt de vista de l'estructuració general de les formes (i de les relacions formals que apareixen al quadre),  resulta molt clar que hi ha una voluntat d'equilibrar les parts buscant algunes disposicions simètriques, i també seguint els eixos principals i les divisions harmòniques que ens donarien els traçats de la secció àuria.

Aquesta mateixa idea d'equilibri entre contraris,  que introdueix la simetria axial,  combina molt bé amb el joc que planteja l'obra sencera,  tant temàticament com a través de la pròpia forma física de l'objecte.  El tríptic pot admirar-se obert o tancat.  El de dins i el de fora són temes complementaris,  com també ho son el de l'ala dreta i el de l'ala esquerra.  Per si això no era suficient, els tractaments cromàtics de l'interior i de l'exterior juguen també a aquesta mateixa concepció dual:  per fora el treball pictòric es mou cap al monocromatisme,  per dintre ho fa en sentit contrari,  buscant la vibració dels colors i les llums.    

                          

La "divina proporció".

No podem descriure cap cosa de la realitat sense l'ajut directe o indirecte d'una noció o una idea que anomenem  "proporció".  Observar el món comporta automàticament la conseqüència de la "comparació", que és un dels actes fonamentals de les nostres capacitats de percepció i d'elaboració del pensament.   Comparar diversos objectes vol dir verificar si les seves qualitats més evidents son iguals o no:  si la seva forma, la seva longitud, l'amplària, el volum, el color, etc.  són aparentment iguals o no.  De la mateixa manera,  quan comparem objectes ens fixem en altres detalls que ens ajuden a relacionar-los:  la seva posició, la seva proporció...

La idea de la proporció fa referència a la mesura relativa de les coses.  Per exemple,  si comparo dos bancs de diferent llargària  que transporten uns operaris en una plaça de la ciutat,  puc fer-me la pregunta:  ¿Quant més llarg és un banc que l'altre?  i fins i tot puc preguntar:  Quantes vegades cabria el banc A damunt del banc B?

Banc B

Banc A

 La resposta a aquestes preguntes s'obté a través de la proporció:  així,  podríem dir que el banc A cabria dues vegades damunt del banc B  (el banc A és igual a la meitat de B),  o el banc A cabria tres vegades damunt del banc B  (el banc B és el triple de llarg que l'A)...

   Banc A   =   1/2  banc B

Trobar la proporció entre dos objectes diferents significa descobrir-ne aquesta mena de relació,  que pot expressar-se en forma de fracció:   A =  1/2 B  o també     B/A = 2

El coneixement matemàtic,  la geometria i també les formes artístiques o el llenguatge musical neix moltes vegades d'observacions tan senzilles com aquesta.  El següent video de Youtube explica una mica la història d'una d'aquestes observacions:  la que va donar orígen a una de les fórmules de proporcionalitat més famoses i més sorprenents que s'han descobert mai:  La "divina proporció", la "proporció àuria",  o el "nombre d'or",  anomenat també nombre "fi" (en honor a l'escultor i arquitecte grec Fídies).
   Igual com nosaltres hem fet en el nostre exemple anterior,  alguns savis grecs de l'Antiguitat (Euclides, ...) van voler saber quantes vegades cabria un costat d'un pentàgon regular en la diagonal d'aquella mateixa figura,  i així van trobar el nombre "fi".  La resposta era que el costat del pentàgon regular cabia 1, 618033...  vegades dins de la seva diagonal corresponent.  És a dir,  la  divisió de la diagonal del pentàgon entre el costat del mateix pentagon dóna aquest resultat.  

Segles més tard,  cap a finals de l'Edat Mitjana,  el matemàtic Fibonacci [Leonardo de Pisa  (1170 - 1250]  va retrobar-se amb aquest nombre mentre investigava la seva famosa progressió numèrica.   El pentàgon,  així com la sèrie de Fibonacci,  formen figures extraordinàries que, entre d'altres coses,  apareixen a la base d'innombrables  estructures orgàniques de la natura...